线性方程组是线性代数的一个中心问题，

　　1．关于线性方程组

　　研究线性方程组解的理论及求解方法是线性代数这门课程的主要任务。线性方程组的基本问题包括：方程组是否有解（解的判定问题）？有解时有多少解？如何求出方程组的全部解？在有无穷多个解时如何表示全部解（解的结构问题）？这一章利用矩阵和微量的知识，使上述问题得到圆满解决。

　　2．关于基础解系

根据齐次线性方程组解的性质知，无穷多解。如何描述这无穷多解呢？在这无穷多个解向量中，是否存在一组有代表性的解向量，由它们可以表示方程组的全部解呢？我们知道这样的一组解向量就是基础解系。基础解系的概念及求法是齐次线性方程组的核心问题。关于基础解系，应注意以下几点：

　　（1）Ax=0的基础解系的含义（极大线性无关组）
　　（2）何时存在基础解系（当r(A)<n时）
　　（3）存在基础解系时，基础解系含多少个解向量（n-r(A)个）
　　（4）如何求基础解系（方法不惟一）
　　（5）基础解系的性质（任意n-r(A)个线性无关的解向量）

　　3．关于线性无关解向量的个数

　　当齐次线性方程组Ａx=0存在n-r(A)个线性无关的解向量，而非齐次线性方程组恰好存在n-r(A)+1个线性无关的解向

量，即Ａx=b比对应的齐次线性方程组Ax=0刚好多一个线性无关的解向量。

　　4． 关于消元法

　　消元法是求解线性方程组的最基本最有效的方法，消元的目的是通过同解变形将方程组中某些方程中的未知量个数减少，以便于求解，一般地是希望通过消元把方程组化成阶梯形方程组。消元的过程只涉及到以下三种变换（称为线性方程组的初等变换）

　　（1） 变换某两个方程的位置
　　（2） 用非零数k乘某方程的两端
　　（3） 把某方程的倍数加到另一方程上去

　　可见，对方程组用消元法求解，相当于对方程组的对应矩阵（齐次线性方程组的系数矩阵、非齐次线性方程组的增广矩阵）施行初等行变换，而化方程组成阶梯形方程组相当于把方程组对应的矩阵化成阶梯形矩阵。注意在化阶梯形矩阵的过程中只能用初等行变换。

　　5． 线性方程组解的性质

（1） 如果是齐次线性方程组Ax=0的解，则也是它的解。

（2） 设的解，为常数，且，则也是Ax=b的解。

6． 非齐次组Ax=b与齐次组Ax=0解的关系

　　注：非齐次方程组Ax=b有无穷多解（惟一解），则Ax=0有非零解（仅有零解），但反过来不成立，即Ax=0有非零解（仅有零解），不能推导出Ax=b有无穷多解（惟一解），甚至可能无解，因为由秩（A）〈n（=n），不一定能得到秩（A=秩（）。但若已知Ax=b有解，或已知A为矩阵且秩（A）=m，则它们之间是可以相互推导的。

————摘自《线性代数过关与提高》

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